Sztochasztikus folyamatok vizsgakérdések (2017-2018 II. félév)

A vizsgán egy tételből kell részletesen beszámolni és a tanultak alkalmazásával egy számolási feladatot is meg kell oldani. Emellett számítani kell szúrópróbaszerű kérdésekre a teljes anyagból.

Az alapfogalmak, azaz a teljesség igénye nélkül: normális eloszlás, függetlenség, karakterisztikus és sűrűségfüggvény, Brown mozgás, feltételes várható érték, \(\sigma\)-algebra és filtráció, megállási idő, megállított \(\sigma\)-algebra, mérhetőség, adaptáltság, egyszerű folyamat, Ito folyamat, totális és kvadratikus variáció, zárójel folyamat, martingál, lokális martingál, sztochasztikus és \(L^2\) konvergencia stb. hiányos ismerete automatikusan sikertelen vizsgához vezet.

1. Brown mozgás. Definíció, Brown mozgás mint Gauss folyamat. Természetes filtráció, Brown mozgásból származtatott martingálok.
2. Brown mozgás Markov tulajdonsága. Skálainvariancia és időinverzió, nagy számok törvénye.
3. Blumenthal 0-1 törvény. Előjelváltás a nulla körül. Szintelérési idő végessége.
4. Megállási idő, megállított \(\sigma\)-algebra. Brown mozgás erős Markov tulajdonsága.
5. Tükrözési elv. Maximum eloszlása, szintelérési idő és utolsó nullhely eloszlása.
6. Kvadratikus variáció, totális variáció. Brown mozgás kvadratikus és totális variációja.
7. Sztochasztikus integrál definíciójának fő lépései.
8. Egyszerű folyamatok és integráljuk Brown mozgás szerint. Tulajdonságok.
9. Progresszív mérhetőség, \(\mathcal S\)-beli integrandusok integrálja. Tulajdonságok. Determinisztikus integrandus integrálja.
10. Integrál kiterjesztése \(\mathcal L\)-beli integrandusokra. Integrál tulajdonságai.
11. Integrandusok közelítése egyszerű integrandusokkal.
12. Folytonos trajektóriájú adaptált folyamat integráljának kiszámítása, Dominált konvergencia tétel.
13. Ito formula. Alkalmazás, exponenciális martingál fejlődése, driftes Brown mozgás szuprémumának eloszlása, Brown híd maximumának eloszlása.
14. Integrál Ito folyamatok szerint. Tulajdonságok. Ito folyamat kvadratikus variációja. Ito folyamatok zárójele. Parciális integrálás képlete. Ito formula többdimenziós Ito folyamatokra.
15. Többdimenziós Brown mozgás fogalma, kvadratikus variációja, Brown mozgás martingál karakterizációja, Lévy karakterizáció.
16. Egyenletes integrálhatóság. Megállított martingál. Opcionális mintavétel.
17. Korlátos változású folytonos lokális martingál. Ito folyamat felbontásának unicitása.
18. Doob maximál és momentum egyenlőtlenség. Wald azonosság.
19. Ekvivalens mértékcsere. Sűrűségi folyamat martingál tulajdonsága. Lokális martingálok közti kapcsolat.
20. Girsanov tétel. Martingál reprezentációs tétel. Alkalmazás: driftes Brown mozgás maximuma korlátos intervallumon, Kendall azonosság.
21. Nem negatív, 1-ből induló martingálok jellemzése. Novikov feltétel. Kazamaki feltétel (csak kimondani.)
22. Lineáris egyenlet megoldása, példák.
23. SDE Lipschitz folytonos együtthatókkal, lineáris növekedési feltétel. Megoldás konstrukciója szukcesszív approximációval. Unicitási fogalmak, erős megoldás és ezek kapcsolata. Tanaka példája.