---
author: "Név (Neptun kód)"
title: '
Stacfoly. gyakorlat1. Szimulációs Hfhatáridő: 2017. dec. 4. **dél**
'
date: '`r Sys.Date()`'
output: html_document
---
**********
A preambulumban ki kell tölteni a nevet (teljes név, ahogy az a neptunban szerepel) valamint a neptun kódot. A megoldást a kérdések után a megjelölt részbe kell írni és a kész megoldást a fenti határidőig a [prokaj@cs.elte.hu](prokaj@cs.elte.hu) címre kell elküldeni.
Az üres levél tárgya legyen
**stacfoly-Rhf-1**
és legyen két csatolmánya:
1. Ez a fájl a válaszokkal kiegészítve és
2. és ugyanennek a bővített fájlnak a html változata, amit az `Rstudio` `Knit HTML` gombjával vagy az `rmarkdown` `R` csomag `render` függvényének segítségével lehet előállítani.
Ennek a problémának a teljes megoldása **8 pontot ér**, de lényegében azonos megoldások esetén **egyik megoldó sem kap pontot**.
A megoldásból ezt a blokkot (azaz a csillag mintás sorokat és az azok közti részt) ki lehet törölni.
**********
A cél a Katelnyikov--Shannon (azaz a mintavételezési) tétel alkalmazása.
1. Legyen $X_t=A\cos(t+U)$, ahol $A\sim N(0,1)$ és $U$ egyenletes $[0,2\pi]$-n.
+ Számítsuk ki $X$ spektrális mértékét, ortogonális sztochasztikus mértékét.
+ Igaz-e hogy $X$ sávkorlátos?
+ Ha igen, mi a sávkorlátja? ($B=?$)
+ Legalább milyen sűrűn kell mintavételezni az $X$ folyamatot ahhoz, hogy ne veszítsünk információt?
2. Írjuk meg a `sample.x<-function(Dt,n)` `R` függvényt, ami mintavételezi $X$ egy realizációját a $k\Delta t$, $k=-n,\dots,n$ pontokban. Írjunk egy másik `interpolate.x<-function(x,Dt,Dt0,alpha)` függvényt is, ami a folyamat $X_{k\Delta}$, $|k|\leq n$ értékekből (`x`) előállítja a folyamat értékeit $k\Delta t_0$ pontokban, ahol $|k\Delta t_0|\leq \alpha n\Delta t$. Természetesen a mintavételezési tétel végtelen sorát helyettesítsük véges összeggel.
```{r}
```
3. Legyen $\Delta t$ kisebb mint a mintavételezési által megkövetelt érték $n=1000$ és alpha $.3$, $\Delta t_0=1/3 \Delta t$. Rajzoljuk ki a folyamat értékeit a $\Delta t_0$ többszöröseiben, és ezt hasonlítsuk össze (ugyanazon az ábrán) a $k\Delta t$ pontokban mintavételezett értékekből számított interpolált értékekkel.
4. Ismételjük meg a 3. pontot ha $\Delta t$ legalább kétszer akkora, mint a mintavételezési tétel által megkövetelt érték.