Valószínűség mértékelméleti alapon. Valószínűségi változók és vektorváltozók. \(\pi\)-\(\lambda\) lemma. Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Sűrűségfüggvény transzformációs formula.
Szorzatmérték és Fubini tétel. Függetlenség, független változók együttes eloszlása, összeg eloszlása. Kolmogorov-féle 0 vagy 1 törvény.
Várható érték, momentumok, várható érték kiszámítására szolgáló formulák. Analízis konvergencia tételei várhatóértékre. Szórás, kovariancia, korrelációs együttható. Egyenlőtlenségek.
Borel-Cantelli lemmák. Független, nem negatív tagú sor konvergenciája. II. Borel-Cantelli lemma általánosítása.
Nagy számok gyenge és erős törvénye véges szórás esetén.
A nagy számok gyenge törvényének Hincsin-féle változata. Nagy számok Kolmogorov féle erős törvénye.
Konvergenciatípusok: 1 valószínűségű, sztochasztikus, \(L^p\)-beli, eloszlásbeli konvergencia fogalma, és a köztük fennálló összefüggések, ellenpéldák. Sztochasztikus konvergencia metrizálása.
Portmanteau tétel, Cramer-Szluckij lemma. Eloszlásbeli konvergencia átfogalmazása eloszlásfüggvénnyel.
Helly-Bray kiválasztási tétel, Prohorov tétel (csak kimondani).
Karakterisztikus függvény, tulajdonságai, inverziós formula.
Folytonossági tétel karakterisztikus függvényekre, Doob lemma. Centrális határeloszlás-tétel legegyszerűbb alakja.
Lindeberg tétel és Feller-féle megfordítása, Ljapunov tétel. Konvergenciasebesség. A centrális határeloszlás tétel lokális alakja (csak kimondani, és a bizonyítás ötlete).
Feltételes várható érték. Létezés Radon-Nikodym tétellel ill. Riesz reprezentációs tétellel. \(\sigma(X)\) mérhető változók leírása.
A feltételes várható érték tulajdonságai, feltételes várható értékre vonatkozó tételek (Beppo Levi, Fatou lemma, Lebesgue), Jensen egyenlőtlenség. Számolási szabályok.
Martingál, megállási idő, szub- és szupermartingál fogalma, példák. Megállított martingál. Tönkremenési probléma megoldása martingál segítségével (első előadás!). Doob maximál egyenlőtlenség, Kolmogorov-egyenlőtlenség.
Doob momentum egyenlőtlenség, \(L^2\)-ben korlátos martingálok konvergenciája. Kolmogorov-kritérium.
Doob felbontás. Nem negatív szupermartingál konvergenciája. Martingál és szubmartingál konvergencia tétel (kimondani és a nem negatív esetre történő visszavezetés ötlete).
A vizsgán a kérdések egyikéből kell részletesen beszámolni. Emellett szúrópróbaszerű kérdésekre is lehet számítani az teljes anyagból, időnként számolási feladattal megtűzdelve. A félkészüléshez az előadás jegyzeten kívül hasznosak lehetnek az alábbi könyvek:
Bhattacharya, R. & Waymire, E. C. A basic course in probability theory Springer, New York, 2007 , xii+211
Billingsley, P. Probability and measure John Wiley & Sons Inc., 1986 , xiv+622
Gut, A. Probability: a graduate course Springer, New York, 2013 , xxvi+600
Rényi, A. Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest, 1989
Móri, T. Diszkrét paraméterű martingálok Typotex Kft., 2001
Ezek azonban valamennyien messze többet tárgyalnak, mint amire az előadáson idő jutott.